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在前面几讲中我们研究了随机变量的概率分布。随机变量的概率分布能全面完整地描述随机变量的概率性质。不过，在实际问题中要求一个随机变量的概率分布往往是困难的，而且在很多场合下，并不需要知道随机变量的概率分布，只要知道随机变量的某些特征就够了。随机变量的常见数字特征包括数学期望和方差。今天我们就来了解一下数学期望的概念。讲到数学期望，就要了解一下概率论的历史。其实，概率的概念及其确定概率的古典方法最早形成于16世纪，当时起源于博弈（赌博）问题。在15-16世纪意大利数学家卡尔达诺的著作里曾经讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等问题。卡尔达诺早在约1564年完成了著作《机遇博弈》，只是他去世后1663年才得以发表。而荷兰数学家惠更斯发表于1657年的著作《论赌博中的计算》，是公开发表最早的概率著作，其中涉及到了一些早期的概率概念和有关概率的定理，标志着概率论的诞生。在这些著作中都使用过概率的古典定义。当时卡尔达诺深入研究了掷骰子赌博的游戏：投掷两个各面点数分别从1~6的普通骰子，如果你掷出的总点数大于6，叫做“大”；如果总点数小于或者等于6，叫做“小”。你愿意押大还是押小呢？卡尔达诺认为，对于掷骰子这种看似靠运气的游戏，其实是可以通过计算概率取胜的。他的关键思想，就是我们前面讲过的“样本空间”。样本空间，是古典概率论的最重要思想。根据这个思想，两个骰子一共有6×6=36种不同的组合，也就是说这一样本空间中有36个元素。如果我们把这36种可能都列举出来，例如(1,1)，(1,2)，……，一直到(6,6)，会发现其中有21种组合的总点数大于6。由于其中每个组合出现的可能性都是一样大的，所以卡尔达诺认为，结果为“大”的概率等于21÷36=58.33%。因此，他在这种赌博游戏中就坚决押大！传说卡尔达诺甚至靠赌博赢下了自己的大学学费。

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同时掷两个骰子的所有可能结果（36种结果中，点数为“大”的有21个）

100多年后，概率论再次因为赌博而被发扬光大。17世纪有个法国贵族安托万·古保德，他还有一个更出名的头衔，叫做梅累骑士。他酷爱赌博，而且他懂概率，赢钱多到别人以为他作弊的程度。有一次，梅累骑士遇到了一个问题。1654年，他向帕斯卡请教了一个亲身经历的“分赌注问题”。故事大概如此：梅雷和赌友双方各自出50枚金币，共100枚金币作为赌注。约定谁先赢3局，则获得全部赌注。赌博进行了一段时间，梅累赢了2局，对方赢了1局。但这时，梅雷接到紧急命令，要立即陪国王接见外宾，于是只好中断赌博。那么，问题就来了，这100枚金币的赌注应该如何分配才合理呢？这个问题其实有广泛的应用。比如，五局三胜制的体育比赛，一方以2:1领先，假设双方每局获奖的机会都相等，那么各自获得最后胜利的概率是多少呢？梅累骑士的概率知识解决不了这个问题，不过他有个科学家朋友，就是名字后来被用作压强单位的法国数学家、物理学家帕斯卡。帕斯卡意识到没有现成的理论可以解决这个问题，他不得不求助于另一位数学家，也就是提出“费马大定理”的费马。1654年，帕斯卡和费马两人开始以通信的方式反复讨论，并共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望。

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即随机变量取值乘取值的概率相加即得平均值。这就是数学期望的概念。

通过上述3个引例，我们可以给出如下定义。

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E(X)是一个实数，而非变量，它是一种加权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现了随机变值取可能值的真正平均值，也称均值。

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由此引出连续型随机变量的数学期望的定义：

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